Để rút gọn biểu thức

\[
\left(\frac{1}{2}\sqrt{112} - \frac{2}{3}\sqrt{63} - \frac{3}{5}\sqrt{175}\right)\sqrt{\frac{1}{7}}
\]

ta sẽ thực hiện từng phần dưới dấu căn và đưa ra ngoài.

### Bước 1: Tính từng căn bậc hai

1. **Tính \(\sqrt{112}\)**:
\[
\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7}
\]

2. **Tính \(\sqrt{63}\)**:
\[
\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}
\]

3. **Tính \(\sqrt{175}\)**:
\[
\sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = 5\sqrt{7}
\]

### Bước 2: Thay thế vào biểu thức

Thay các giá trị vừa tính vào biểu thức ban đầu:

\[
\left(\frac{1}{2}(4\sqrt{7}) - \frac{2}{3}(3\sqrt{7}) - \frac{3}{5}(5\sqrt{7})\right)\sqrt{\frac{1}{7}}
\]

### Bước 3: Tính từng phần trong ngoặc

1. **Tính \(\frac{1}{2}(4\sqrt{7})\)**:
\[
\frac{1}{2}(4\sqrt{7}) = 2\sqrt{7}
\]

2. **Tính \(-\frac{2}{3}(3\sqrt{7})\)**:
\[
-\frac{2}{3}(3\sqrt{7}) = -2\sqrt{7}
\]

3. **Tính \(-\frac{3}{5}(5\sqrt{7})\)**:
\[
-\frac{3}{5}(5\sqrt{7}) = -3\sqrt{7}
\]

### Bước 4: Kết hợp các giá trị

Bây giờ thay tất cả vào cùng một biểu thức trong ngoặc:

\[
2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = -3\sqrt{7}
\]

### Bước 5: Tính \(\sqrt{\frac{1}{7}}\)

Ta có:

\[
\sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}
\]

### Bước 6: Thay vào và hoàn tất

Giờ ta thay vào biểu thức:

\[
(-3\sqrt{7}) \cdot \frac{1}{\sqrt{7}} = -3
\]

### Kết quả

Vậy biểu thức rút gọn được là:

\[
-\mathbf{3}
\]