Để phân tích đa thức \((x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3\), trước tiên ta sẽ mở rộng và thu gọn biểu thức này.

Bước 1: Tính \((x^2 + 2x)^2\):

\[
(x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2
\]

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:

\[
(x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) - 2x^2 - 4x - 3
\]

Bước 3: Gọn lại biểu thức:

\[
= x^4 + 4x^3 + (4x^2 - 2x^2) - 4x - 3
= x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3
\]

Bước 4: Tìm nghiệm của đa thức \(x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3\) bằng cách sử dụng phương pháp thử hoặc phương trình bậc cao:

Ta thử với một số giá trị của \(x\):

- Khi \(x = 1\):

\[
1^4 + 4 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 - 3 = 1 + 4 + 2 - 4 - 3 = 0
\]

Vậy \(x = 1\) là một nghiệm.

Bước 5: Sử dụng phép chia đa thức để chia \(x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3\) cho \(x - 1\):

Sau khi chia, ta được:

\[
x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3 = (x - 1)(x^3 + 5x^2 + 7x + 3)
\]

Bước 6: Tìm các nghiệm còn lại của \(x^3 + 5x^2 + 7x + 3\).

Ta có thể tiếp tục thử với các giá trị trong \(x^3 + 5x^2 + 7x + 3\):

- Khi \(x = -1\):

\[
(-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0
\]

Vậy \(x = -1\) cũng là nghiệm.

Bước 7: Tiếp tục chia \(x^3 + 5x^2 + 7x + 3\) cho \(x + 1\):

Sau khi chia, ta được:

\[
x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = (x + 1)(x^2 + 4x + 3)
\]

Bước 8: Phân tích đa thức bậc hai \(x^2 + 4x + 3\):

\[
x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
\]

Bước 9: Tổng hợp lại:

Từ các bước trên, ta có:

\[
x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3 = (x - 1)(x + 1)(x + 1)(x + 3)
\]

Cuối cùng, có thể viết lại dưới dạng:

\[
= (x - 1)(x + 1)^2(x + 3)
\]

Vậy, đa thức \((x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3\) được phân tích thành nhân tử như sau:

\[
(x - 1)(x + 1)^2(x + 3)
\]