**Bài 1:**

Gọi số học sinh đạt giải nhất là \( x \). Theo đề bài, ta có:
1. \( x = 0.1 \cdot T \), trong đó \( T \) là tổng số học sinh đạt giải.
2. Gọi số học sinh đạt giải nhì là \( y \), số học sinh đạt giải ba là \( z \), số học sinh đạt giải khuyến khích là \( k \).

Từ các điều kiện trên, ta có:
- Số học sinh đạt giải:
\[
T = x + y + z + k
\]
- Số học sinh đạt giải nhì:
\[
y = \frac{1}{5}(z + k)
\]
- Số học sinh đạt giải ba:
\[
z = \frac{4}{5}k
\]

Tổng số học sinh đạt giải là 150:
\[
T = 150
\]

Thay \( x \) vào \( T \):
\[
T = 0.1 \cdot 150 + y + z + k \Rightarrow 150 = 15 + y + z + k
\]
\[
y + z + k = 135
\]

Tiếp tục thay \( z = \frac{4}{5}k \) vào phương trình:
\[
y + \frac{4}{5}k + k = 135
\]
\[
y + \frac{9}{5}k = 135
\]
Từ \( y = \frac{1}{5}(z + k) \) và \( z = \frac{4}{5}k \):
\[
y = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}k + k\right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{5}k = \frac{9}{25}k
\]

Thay vào phương trình:
\[
\frac{9}{25}k + \frac{9}{5}k = 135
\]
Để cộng hai khai thác này, đưa về cùng mẫu:
\[
\frac{9}{25}k + \frac{45}{25}k = 135 \quad \Rightarrow \quad \frac{54}{25}k = 135
\]

Giải phương trình:
\[
54k = 135 \cdot 25 \Rightarrow k = \frac{3375}{54} = 62.5
\]

Chúng ta đã tìm ra \( k \). Tiếp tục với \( z = \frac{4}{5}k = \frac{4}{5} \cdot 62.5 = 50 \) và từ đó tìm \( y \):
\[
y + 50 + 62.5 = 135 \Rightarrow y = 135 - 112.5 = 22.5
\]
Từ đó:
\[
x = 15
\]

Vậy số học sinh đạt giải nhất là 15, số học sinh đạt giải khuyến khích là 62.5 (cần xem lại vì không thể có số học sinh không nguyên).

---

**Bài 2:**

Giá sản phẩm ban đầu là 650.000 đồng.
1. Giảm giá 25%:
\[
\text{Giá sau giảm} = 650.000 - 0.25 \cdot 650.000 = 650.000 \cdot 0.75 = 487.500 \text{ đồng}
\]

2. Giảm thêm 5%:
\[
\text{Giá sau giảm thêm} = 487.500 - 0.05 \cdot 487.500 = 487.500 \cdot 0.95 = 462.125 \text{ đồng}
\]

**Tỉ số phần % số tiền sau khi đã giảm 2 lần so với giá tiền ban đầu:**
\[
\text{Tiền giảm} = 650.000 - 462.125 = 187.875
\]
\[
\text{Tỉ số phần trăm} = \frac{187.875}{650.000} \cdot 100 \approx 28.5\%
\]

---

**Bài 3:**

Gọi tổng số quả dưa hấu ban đầu là \( x \). Theo đề bài, mẹ bán được \( \frac{4}{5} \) số quả dưa hấu, nên số quả còn lại:
\[
\frac{1}{5}x = 12 \Rightarrow x = 12 \cdot 5 = 60
\]

Vậy trong rổ có tất cả 60 quả dưa hấu.