Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = (x-2)(x-5)(x^2-7x-10) \), chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa việc phân tích.

1. **Đặt ẩn phụ:**
Đặt \( y = (x-2)(x-5) \). Biểu thức \( A \) có thể viết lại là:
\[
A = y \cdot (x^2 - 7x - 10)
\]

2. **Tính \( x^2 - 7x - 10 \):**
Chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này để tìm cực trị của nó. Biểu thức này có dạng chuẩn \( ax^2 + bx + c \):
\[
x^2 - 7x - 10 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 1, b = -7, c = -10 \):
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2}
\]

3. **Tính giá trị của \( y \) tại những giá trị cực trị của \( x \):**
Để dễ dàng hơn trong việc tối ưu hóa, ta cần tính giá trị của \( (x-2)(x-5) \) tại các giá trị sau:
- \( x = 2 \)
- \( x = 5 \)
và những giá trị x khác như \( x = 0, x = 7 \)

4. **Đánh giá toàn bộ biểu thức:**
Tại các giá trị này, hãy tính giá trị của \( A \):
- Khi \( x = 2 \):
\[
A = (2-2)(2-5)(2^2-7\cdot2-10) = 0
\]
- Khi \( x = 5 \):
\[
A = (5-2)(5-5)(5^2-7\cdot5-10) = 0
\]
- Khi \( x = 0 \):
\[
A = (0-2)(0-5)(0^2-7\cdot0-10) = (−2)(−5)(−10) = -100
\]
- Khi \( x = 7 \):
\[
A = (7-2)(7-5)(7^2-7\cdot7-10) = (5)(2)(49−49−10) = (5)(2)(−10) = -100
\]

5. **Tìm GTNN:**
Giá trị nhỏ nhất của \( A \) được tìm thấy là \( -100 \).

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\text{GTNN} = -100
\]