Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) và \( k \) sao cho \( n^8 + 4^{2k+1} \) là số nguyên tố, ta có thể giải thích như sau:

### Phân tích biểu thức:

Biểu thức có thể được viết lại như sau:
\[
n^8 + 4^{2k+1} = n^8 + (2^2)^{2k+1} = n^8 + 2^{4k + 2}
\]

### Xem xét các trường hợp:

1. **Khi \( n = 0 \)**:
\[
0^8 + 4^{2k+1} = 4^{2k+1}
\]
Biểu thức này không phải là số nguyên tố cho mọi \( k \geq 0 \).

2. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
1^8 + 4^{2k+1} = 1 + 4^{2k+1}
\]
Biểu thức này cũng không phải là số nguyên tố với \( k \geq 0 \) (vì \( 4^{2k+1} \) là số chẵn lớn hơn 1).

3. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
2^8 + 4^{2k+1} = 256 + 4^{2k+1}
\]
Tương tự, chiếc này cũng không phải là số nguyên tố.

4. **Khi \( n = 3 \)**:
\[
3^8 + 4^{2k+1} = 6561 + 4^{2k+1}
\]
Không có số nào là nguyên tố ngoài các trường hợp đơn giản.

5. **Khi \( n \geq 4 \)**:
Khi \( n \) lớn hơn hoặc bằng 4, biểu thức \( n^8 \) sẽ trở nên rất lớn và \( 4^{2k + 1} \) thì luôn là số chẵn, do đó biểu thức tổng của một số lẻ và một số chẵn sẽ là số lẻ.

### Kết luận:

Để tìm kiếm các cặp số nguyên \( (n, k) \) mà \( n^8 + 4^{2k + 1} \) là nguyên tố, bạn nên thay các giá trị của \( n \) từ 1 trở về trước và kiểm tra xem có giá trị nào cho \( k \) sao cho biểu thức đó cho ra số nguyên tố hay không.

Dựa vào các phân tích trên, rất khó để có được những cặp \( (n, k) \) thoả mãn, có thể chỉ có các giá trị nhỏ là cần kiểm tra.

Khuyến nghị là kiểm tra từng cặp cụ thể hoặc dùng các phép thử hữu hạn cho giá trị thực tế hợp lý.