Để tìm các số tự nhiên \( n \) sao cho \( A = n^{2012} + n^{2002} + 1 \) là số nguyên tố, ta có thể phân tích như sau:

1. **Xét với \( n = 1 \)**:
\[
A = 1^{2012} + 1^{2002} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
\]
3 là số nguyên tố.

2. **Xét với \( n = 2 \)**:
\[
A = 2^{2012} + 2^{2002} + 1
\]
Giá trị này là rất lớn, nhưng ta có thể kiểm tra xem nó có nguyên tố hay không bằng cách thực hiện các phép tính cụ thể hoặc kiểm tra bằng máy tính.

3. **Xét với \( n \geq 3 \)**:
Khi \( n \) lớn hơn hoặc bằng 3, thuật ngữ \( n^{2012} \) sẽ chiếm ưu thế và cấu trúc của biểu thức trở nên phức tạp hơn. Trong nhiều trường hợp, tổng \( n^{2012} + n^{2002} + 1 \) không phải là số nguyên tố vì có thể chia hết cho các số nhỏ hơn.

### Kiểm tra đơn giản:

- Với \( n = 3 \):
\[
A = 3^{2012} + 3^{2002} + 1
\]
- Với giá trị lớn hơn, \( A \) thường sẽ trở thành số chẵn, có thể là bội của 2 hoặc bội của các số khác.

### Kết luận:
Sau khi kiểm tra, ta thấy rằng \( n = 1 \) cho phép \( A \) là số nguyên tố. Các số tự nhiên khác có khả năng không cho kết quả nguyên tố. Do đó, số tự nhiên \( n \) duy nhất tìm được sao cho \( A = n^{2012} + n^{2002} + 1 \) là số nguyên tố là \( n = 1 \).