Để phân tích đa thức \(x^4 + x^2 + 1\) thành nhân tử, trước hết chúng ta có thể thay đổi biến để đơn giản hóa bài toán. Gọi \(y = x^2\), do đó ta có:

\[
x^4 + x^2 + 1 = y^2 + y + 1
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích đa thức \(y^2 + y + 1\). Để làm điều này, chúng ta có thể tìm nghiệm của phương trình \(y^2 + y + 1 = 0\) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\):

\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
\]

Vì \(\sqrt{-3} = i\sqrt{3}\) (với \(i\) là đơn vị ảo), ta có:

\[
y = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy, các nghiệm của phương trình là \(y_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\) và \(y_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\).

Chúng ta có thể viết đa thức \(y^2 + y + 1\) dưới dạng nhân tử như sau:

\[
y^2 + y + 1 = \left(y - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(y - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Thay lại \(y = x^2\):

\[
x^4 + x^2 + 1 = \left(x^2 - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x^2 - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Tuy nhiên, nếu chúng ta muốn có dạng phân tích chỉ với hệ số thực, chúng ta có thể để nguyên dạng là \(y^2 + y + 1\) vì không thể phân tích thành tích của các đa thức bậc 1 với hệ số thực.

Vì vậy, dạng tối giản của \(x^4 + x^2 + 1\) không thể phân tích hơn với hệ số thực và chỉ có thể giữ nguyên:

\[
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}
\]

Nói chung, nếu làm việc trong trường hợp số phức, ta có thể viết:

\[
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x^2 - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})
\]

Còn nếu xét trong phạm vi số thực, ta để nguyên dạng \(x^4 + x^2 + 1\).