Để chứng minh rằng các số \( A \), \( B \), và \( C \) là bội số của các số 4, 17, và 31 tương ứng, ta sẽ sử dụng các quy tắc về tính chia hết.

### a. Chứng minh \( A = 27^9 + 32^8 \) là bội của 4:

- **Xét \( 27^9 \mod 4 \)**:
\( 27 \equiv 3 \mod 4 \), do đó:
\[
27^9 \equiv 3^9 \mod 4
\]
Ta có \( 3^1 \equiv 3 \mod 4 \) và \( 3^2 \equiv 1 \mod 4 \), cho nên \( 3^9 \equiv 3 \mod 4 \).

- **Xét \( 32^8 \mod 4 \)**:
\( 32 \equiv 0 \mod 4 \), do đó:
\[
32^8 \equiv 0 \mod 4
\]

- **Kết luận**:
\[
A \equiv 3 + 0 \equiv 3 \mod 4
\]
Chúng ta sẽ xem xét lại cách tính hoặc điều kiện bài toán vì tuy \( A \equiv 3 \mod 4 \) không phải là bội số của 4.

### b. Chứng minh \( B = 4^{10} + 8^8 \) là bội của 17:

- **Xét \( 4^{10} \mod 17 \)**:
Sử dụng định lý Fermat, ta có \( 4^{16} \equiv 1 \mod 17 \).
Cần tính \( 4^{10} \mod 17 \):
\[
4^1 \equiv 4, \quad 4^2 \equiv 16, \quad 4^3 \equiv 15, \quad 4^4 \equiv 13, \quad 4^5 \equiv 14, \quad 4^6 \equiv 10, \quad 4^7 \equiv 13 \mod 17
\]
Tiếp tục tìm đến \( 4^{10} \):
- Từ \( 4^8 \equiv 2 \),
- \( 4^{10} \equiv 4^2 \equiv 16 \mod 17 \).

- **Xét \( 8^{8} \mod 17 \)**:
\[
8 \equiv 8 \mod 17 \implies
8^1 \equiv 8, \quad 8^2 \equiv 13, \quad 8^3 \equiv 15, \quad 8^4 \equiv 11, \quad 8^5 \equiv 10, \quad 8^6 \equiv 16 \quad (8^7 \equiv 6) \mod 17
\]
Cho tới \( 8^8 \equiv 1 \).

- **Kết luận**:
\[
B \equiv 16 + 1 = 17 \equiv 0 \mod 17
\]

### c. Chứng minh \( C = 1 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{98} \) là bội của 31:

- **Công thức tổng cấp số nhân**:
\[
C = 1 + 5^2(1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{96}) = \frac{5^{99} - 1}{5 - 1}
\]
Sử dụng tính chất chia hết,
\[
C = \frac{5^{99} - 1}{4}
\]

- **Xét \( 5^{99} \mod 31 \)**:
Dùng định lý Fermat \( 5^{30} \equiv 1 \mod 31 \):
\[
5^{99} = (5^{30})^3 \cdot 5^9 \equiv 1^3 \cdot 5^9 \equiv 5^9 \mod 31
\]

Tiếp theo, ta tính \( 5^9 \mod 31 \):
\[
5^1 \equiv 5, \quad 5^2 \equiv 25, \quad 5^3 \equiv 1 \mod 31
\]
Vì \( 5^3 \equiv 1 \) nên \( 5^9 \equiv 1 \).

Vậy
\[
C \equiv \frac{1 - 1}{4} \equiv 0 \mod 31.
\]

### Kết luận:
Do đó,
- \( A = 27^9 + 32^8 \) không phải là bội của 4.
- \( B = 4^{10} + 8^8 \) là bội của 17.
- \( C = 1 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{98} \) là bội của 31.