Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần a) và b).

### a) Chứng minh: AM = BN và tam giác AMD = tam giác BND

Đầu tiên, ta biết rằng hình thoi ABCD có tính chất:
- Các cạnh đối diện bằng nhau (AB = CD và AD = BC).
- Các góc đối diện bằng nhau (∠A = ∠C và ∠B = ∠D).

Theo giả thiết, có AM + NC = AD. Chúng ta có thể viết lại:

\[ AM + NC = AD = AB \]

Ký hiệu:
- \( AM = x \)
- \( NC = y \)

Vì vậy, ta có:

\[ x + y = AB \]

Tiếp theo, từ 2 điểm M và N, ta có:
- Điểm M thuộc cạnh AB, và M có độ dài là AM = x.
- Điểm N thuộc cạnh BC, và N có độ dài là BN = BC - NC.

Từ AM + NC = AB, tức là:

\[ x + (BC - y) = AB \]

Điều này dẫn đến:

\[ y = BN \text{ hay } AM = BN \]

Bây giờ, để chứng minh tam giác AMD = tam giác BND, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng.

1. Xét 2 tam giác AMD và BND:
- Gốc A và góc B cũng là các góc tương ứng, vì AB = AD (cạnh của hình thoi).
- Độ dài AM = BN (đã chứng minh ở trên).
- Độ dài AD = BD (cạnh đối diện của hình thoi).

Do đó, có:

- Tam giác AMD ~ tam giác BND (theo tiêu chí M-H-M, 2 cạnh và góc kẹp)

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[ \Delta AMD \cong \Delta BND \]

### b) Tính số đo các góc của tam giác DMN

Để tìm số đo các góc của tam giác DMN, ta sẽ xem xét các góc liên quan.

1. Gọi:
- ∠AMN là góc tại M.
- ∠BND là góc tại N.

2. Vì tam giác AMD và tam giác BND đều là các tam giác bằng nhau (đã chứng minh ở phần a), nên:

\[ \angle DMN = \angle DAB = 90^\circ \]

(nếu A, B, C, D sắp xếp theo chiều kim đồng hồ).

3. Do đó, tổng các góc trong tam giác DMN:

\[ \angle DMN + \angle MND + \angle MDN = 180^\circ \]

Tuy nhiên, do hình thoi có tính đối xứng, chúng ta có:

- Nếu DM là phần liên kết giữa các cạnh của hình thoi, góc MDN, góc MND đều là góc bẹt của hình thoi đi qua đường chéo hoặc cạnh nhau.

Vì thế, bạn có thể tính được:

\[ \angle MDN = \angle BDC = 90^\circ \]
\[ \angle DMN + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Với những gợi ý trên, ta dễ dàng đạt được kết luận rằng các góc của tam giác DMN có thể được tìm chính xác qua số đo góc :

\[ \boxed{(30^\circ, 90^\circ, 60^\circ)} \text{ hoặc tương tự theo tính chất hình thoi.} \]

### Kết luận

Đến đây, chúng ta đã chứng minh được rằng \( AM = BN \) và \( \Delta AMD \cong \Delta BND \) ở phần a), và đã tìm được các ọc tam giác DMN là (30, 60, 90) hoặc dạng khác tùy thuộc vào vị trí M, N.