Để chứng minh rằng \( AH^2 = BH \cdot CH \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là góc vuông và \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Gọi Đường Tròn Đường Kính là BC**:
Từ điểm \( A \), hạ đường cao \( AH \) xuống cạnh \( BC \). Đặt \( BH = x \) và \( CH = y \), do đó \( BC = BH + CH = x + y \).

2. **Sử Dụng Định Lý Hình Chóp (Tia Vô Hạn)**:
Ta có thể sử dụng định lý sẽ cho rằng: Trong một tam giác vuông, nếu hạ một đường cao từ góc vuông, thì bình phương độ dài của đường cao bằng tích của hai đoạn trên cạnh huyền.

\[
AH^2 = BH \cdot CH \quad (1)
\]

3. **Áp Dụng vào Tam Giác**:
Theo đề bài, với \( A \) là góc vuông, ta có:

\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

4. **Kết Luận**:
Do đó, ta đã chứng minh được rằng
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Phương pháp này dựa trên các định lý cơ bản trong tam giác vuông và tính chất của đường cao. Đây là một trong những dạng bài tập thường gặp trong hình học.