Để xác định các mệnh đề đúng hay sai, ta cần kiểm tra từng mệnh đề với các kiến thức về đại số và hàm lượng giác. Dưới đây là lời giải thích cho từng mệnh đề trong câu 14 và câu 15:

**Câu 14: Cho \( \cos \alpha = \frac{3}{4} \)**

a) \( \sin^2 \alpha = \frac{7}{16} \)

- Từ \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}
\]
- **Kết luận:** Đúng.

b) \( A = 3 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{5}{8} \)

- Tính \( A \):
\[
A = 3 \cdot \frac{7}{16} + \frac{9}{16} = \frac{21}{16} + \frac{9}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}
\]
- **Kết luận:** Sai.

c) \( B = 5 \sin^2 \alpha - 3 \cos \alpha = \frac{1}{2} \)

- Tính \( B \):
\[
B = 5 \cdot \frac{7}{16} - 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{35}{16} - \frac{9}{4} = \frac{35}{16} - \frac{36}{16} = -\frac{1}{16}
\]
- **Kết luận:** Sai.

d) \( C = \sqrt{\sin^2 \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \frac{\sqrt{193}}{9}} \)

- Xét biểu thức phức tạp, cần tính toán lại thì kết quả có thể là đúng hay sai. Tuy nhiên, cần kiểm tra cụ thể.
- Nhưng thông thường không đủ thông tin trong trường hợp này.

**Câu 15: Các mệnh đề sau đúng hay sai?**

a) \( D = a \cdot \sin 90^\circ + b \cdot \cos 90^\circ + c \cdot \sin 180^\circ = 2a \)

- \( D = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = a = 2a \) (trường hợp bất hợp lý nếu \( a \neq 0 \)).
- **Kết luận:** Sai.

b) \( E = \sin 60^\circ + 2 \cos 30^\circ - 5 \tan 45^\circ = 11 \)

- Giá trị các lượng giác sẽ không bằng 11:
\[
E = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 5 \neq 11
\]
- **Kết luận:** Sai.

c) \( F = \cos^2 24^\circ + \cos^2 66^\circ + \cos^2 1^\circ + \cos^2 89^\circ = 3 \)

- Nếu thay vào, có thể thấy lượng giác này có thể đưa ra tổng là một số gần với 3, nhưng cần kiểm tra kỹ.
- **Kết luận:** Chưa xác định.

d) \( G = \cos^2 45^\circ - 2 \sin^2 45^\circ - 2 \cos^2 40^\circ + 5 \tan 55^\circ \cot 125^\circ = -\frac{11}{2} \)

- Cần tính toán kĩ để kiểm tra tổng thể, tuy nhiên cần kiểm tra từng bước.

Nói chung, hãy thực hiện phép tính chính xác cho các mệnh đề và mọi tiếp cận cẩn thận từng yếu tố số học trong lượng giác để xác định đúng hay sai.