Để chứng minh các phần của bài toán về tam giác \(ABC\) nhọn và tứ giác \(ABCD\), ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

1. **Từ giả thiết:** Ta có điểm \(N\) là trung điểm của \(AC\), nghĩa là \(AN = NC\).
2. **Điểm \(D\):** Theo giả thiết, \(D\) được chọn trên đoạn \(BN\) sao cho \(BN = ND\).
3. **Căn cứ vào tính chất của trung điểm:** Ta có \(AD = AB + BD\) và \(DC = AC + CN\).
4. **Chứng minh:** Do \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(BN = ND\), ta có:
\[
AB + BD = AC + CN
\]
Suy ra:
\[
AD = DC
\]
Ngoài ra, ta cũng có \(AB = CD\) vì \(N\) chia đoạn \(AC\) đôi và \(BD = CN\). Từ đó, ta xác định được hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(ABCD\) bằng nhau:
\[
AB = DC \quad \text{và} \quad AD = BC
\]
Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

### b) Kẻ \(AP\) vuông góc với \(BC\) và \(CQ\) vuông góc với \(AD\). Chứng minh \(P, N, Q\) thẳng hàng.

1. **Kẻ \(AP\) vuông góc với \(BC\):** Điều này có nghĩa là \(AP \perp BC\).
2. **Kẻ \(CQ\) vuông góc với \(AD\):** Điều này có nghĩa là \(CQ \perp AD\).
3. **Chứng minh \(P, N, Q\) thẳng hàng:**
- Từ \(AN = NC\), ta thấy rằng \(N\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) chính giữa.
- Với \(P\) và \(Q\) nằm trên các đường vuông góc thì \(N\) phải nằm trên đường thẳng nối giữa chúng, vì \(AN = NC\) là đường thẳng chia \(AC\) thành hai đoạn bằng nhau.
- Như vậy, ta thấy \(P, N, Q\) thẳng hàng bởi vì cả hai đều nằm trên các đoạn tạo thành các góc vuông với các cạnh tương ứng.

### c) Điều kiện để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông, cần thêm điều kiện là cả bốn góc của tứ giác này phải bằng \(90^\circ\).

1. **Điều kiện 1:** Điều kiện này có thể được đảm bảo nếu \(AP\) vuông góc với \(BC\) và \(CQ\) vuông góc với \(AD\) đồng thời có độ dài của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) bằng nhau.
2. **Điều kiện 2:** Hay nói cách khác, tam giác \(ABC\) cần có chiều cao từ \(A\) đến \(BC\) và từ \(C\) đến \(AD\) phải bằng nhau, làm cho các cạnh bằng nhau và các góc vuông.

Tổng hợp lại các phần, bạn có thể thấy rằng để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông, bạn cần đảm bảo không chỉ có các cạnh bằng nhau mà còn có các góc vuông ở mỗi đỉnh.

Hy vọng với phần giải thích chi tiết này, bạn sẽ có cái nhìn rõ hơn về bài toán!