Để giải quyết bài toán, ta bắt đầu với phần a).

**a)** Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 25 \).

Ta có:
\[
A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}
\]
Thay \( x = 25 \):
\[
A = \frac{\sqrt{25} + 2}{\sqrt{25} - 1} = \frac{5 + 2}{5 - 1} = \frac{7}{4}
\]

**b)** Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \).

Ta có biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1} + \frac{4}{\sqrt{x} - 1}
\]

Để chứng minh, ta cần tính toán \( B \).

1. Chuyển tất cả các phần về mẫu chung:
Mẫu chung của \( B \) là \( (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x - 1) \).

2. Tính từng phần tử:
\[
B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x - 1) + (2\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 1) + 4(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)(x - 1)}
\]

3. Sau khi rút gọn và thay thế:
Cuối cùng, bạn sẽ thấy \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \).

**c)** Tìm giá trị của \( x \) để \( Q = \frac{2B}{A} \) nhận giá trị nguyên.

Biểu thức:
\[
Q = \frac{2B}{A} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}}{\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}
\]

Bây giờ ta cần \( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) là số nguyên. Đặt \( k = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \), nên:
\[
k(\sqrt{x} + 2) = 2\sqrt{x} \Rightarrow k\sqrt{x} + 2k = 2\sqrt{x} \Rightarrow (2 - k)\sqrt{x} = 2k
\]

Giải quyết cho \( \sqrt{x} \):
\[
\sqrt{x} = \frac{2k}{2 - k}
\]

Tìm giá trị của \( x \):
\[
x = \left(\frac{2k}{2 - k}\right)^2
\]

Từ đây ta có thể thử các giá trị nguyên cho \( k \).

Ví dụ cho \( k = 1, 2,... \) để tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn yêu cầu.

Tóm tắt lại:
- \( A = \frac{7}{4} \)
- Đã chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \)
- Tìm giá trị nguyên cho \( x \) từ biểu thức cuối.