Để phân tích biểu thức \( \frac{1}{36}x^2 + \frac{1}{24}xy + \frac{1}{64}y^2 \) thành nhân tử, ta có thể bắt đầu bằng cách đưa tất cả các phần tử về dạng chung và hợp nhất chúng lại.

Thực hiện như sau:

1. Tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số. Điều này sẽ giúp chúng ta đưa biểu thức về cùng một mẫu số:
- Mẫu số là: \( 36, 24, 64 \).
- Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 36, 24 và 64 là 144.

2. Quy đồng các phần của biểu thức về mẫu số 144:
- \( \frac{1}{36}x^2 = \frac{4}{144}x^2 \)
- \( \frac{1}{24}xy = \frac{6}{144}xy \)
- \( \frac{1}{64}y^2 = \frac{2.25}{144}y^2 = \frac{9}{144}y^2 \)

Vì vậy, biểu thức trở thành:
\[
\frac{1}{36}x^2 + \frac{1}{24}xy + \frac{1}{64}y^2 = \frac{4}{144}x^2 + \frac{6}{144}xy + \frac{9}{144}y^2
\]
Đưa ra ngoài mẫu số:
\[
= \frac{1}{144}(4x^2 + 6xy + 9y^2)
\]

3. Tiếp theo, ta tiến hành phân tích đa thức \( 4x^2 + 6xy + 9y^2 \):
- Đây là một đa thức bậc hai theo \( x \) và \( y \). Để phân tích, ta tìm các hệ số:
- \( a = 4 \)
- \( b = 6 \)
- \( c = 9 \)

Ta tìm hai số \( p \) và \( q \) sao cho:
\[
p + q = 6 \quad \text{và} \quad pq = 4 \times 9 = 36
\]
Hai số đó là \( 3 \) và \( 3 \).

4. Do đó,
\[
4x^2 + 6xy + 9y^2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = (2x + 3y)^2
\]

5. Cuối cùng, ta có:
\[
\frac{1}{36}x^2 + \frac{1}{24}xy + \frac{1}{64}y^2 = \frac{1}{144}(2x + 3y)^2
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{1}{36}x^2 + \frac{1}{24}xy + \frac{1}{64}y^2 = \frac{(2x + 3y)^2}{144}
\]

Đây là dạng phân tích thành nhân tử của biểu thức đã cho.