Để giải bài toán về hình thang cân ABCD, ta có các thông tin như sau:

- Hình thang cân có AB // CD, tức là hai cạnh AB và CD song song.
- Đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC.
- DB là tia phân giác của ∠ADC.
- BCD = 2BDC và BCD = 60°.

### a) Chứng minh BCD = 2BDC và BCD = 60°:

1. **Gọi ∠BDC = x**.
2. Bởi vì DB là tia phân giác của ∠ADC, ta có ∠BDA = ∠ADC/2.
3. Trong tam giác BCD:
- ∠BCD = x,
- ∠BDC = x,
- Từ đó ∠ADC = 2x.
4. Theo đề bài, ta có ∠BCD = 2BDC. Vậy:
- 2x = 2BDC.
5. Để chứng minh BCD = 60°:
- Căn cứ vào tổng các góc trong tam giác và tính chất hình thang, phép tính từ các góc cho thấy x = 30°.
- Do đó, BCD = 60°.

### b) Gọi T là giao điểm của CB và DA:

- Từ tính chất hình thang cân, ta có:
- Tam giác TCD đều, tức là TC = TD.

### c) Tính chu vi hình thang ABCD biết BC = 8 cm:

1. Gọi AB = a, CD = b.
2. Theo định lý hình thang, ta có thể tính chiều dài của các cạnh.
3. Với BC = 8 cm, ta có thể kéo dài ra các cạnh còn lại bằng cách sử dụng các tính chất từ hình thang đều và áp dụng công thức chu vi:
- Chu vi = AB + BC + CD + DA.

Nếu biết thêm về độ dài của các đoạn thẳng hoặc góc cụ thể, ta có thể đưa công thức chính xác hơn.