Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu với các biểu thức đã cho:

\[
A = \frac{5}{2m+1}
\]
\[
B = \frac{4}{2m-1}
\]

### a) Tìm giá trị của \( m \) để thỏa mãn \( 2A + 3B = 0 \)

Thay giá trị của \( A \) và \( B \) vào phương trình:

\[
2\left(\frac{5}{2m+1}\right) + 3\left(\frac{4}{2m-1}\right) = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{10}{2m+1} + \frac{12}{2m-1} = 0
\]

Đưa các hạng tử về cùng một mẫu số:
\[
\frac{10(2m-1) + 12(2m+1)}{(2m+1)(2m-1)} = 0
\]

Giải tử số:
\[
10(2m-1) + 12(2m+1) = 0
\]
\[
20m - 10 + 24m + 12 = 0
\]
\[
44m + 2 = 0
\]
\[
44m = -2 \Rightarrow m = -\frac{1}{22}
\]

### b) Tìm giá trị của \( m \) để thỏa mãn \( AB = A + B \)

Thay giá trị của \( A \) và \( B \):
\[
AB = \left(\frac{5}{2m+1}\right)\left(\frac{4}{2m-1}\right)
\]
\[
A + B = \frac{5}{2m+1} + \frac{4}{2m-1}
\]

Tiến hành giải quyết phương trình:
\[
\frac{20}{(2m+1)(2m-1)} = \frac{5(2m-1) + 4(2m+1)}{(2m+1)(2m-1)}
\]

Giải tử số:
\[
5(2m-1) + 4(2m+1) = 20m
\]
\[
10m - 5 + 8m + 4 = 20m
\]
\[
18m - 1 = 20m
\]
\[
-1 = 2m \Rightarrow m = -\frac{1}{2}
\]

### Kết luận:
Các giá trị của \( m \) để thỏa mãn các hệ thức đã cho là:
- a) \( m = -\frac{1}{22} \)
- b) \( m = -\frac{1}{2} \)