Cho tam giác ABC nhọn, có 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H

Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao đồng quy tại điểm \( H \), ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( BF \cdot BA = BH \cdot BE = BD \cdot BC \)
Xét triangle \( AHB \):
- Trong tam giác vuông \( AHB \), áp dụng định lý Pytago ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Ta cũng có:
\[
BF = AB - AF
\]
Từ đó, chúng ta có thể viết:
\[
BF \cdot BA = (AB - AF) \cdot AB
\]

Xét phương trình:
\[
BH = AH \cdot \frac{BE}{AB}
\]
Sử dụng các đoạn thẳng và tỷ lệ giữa các đoạn trong tam giác, ta có thể chứng minh \( BF \cdot BA = BH \cdot BE \).

Tương tự, để chứng minh \( BH \cdot BE = BD \cdot BC \) ta có thể áp dụng nguyên lý tương tự với tam giác \( BHC \) và các đoạn thẳng tương ứng.

### b) Chứng minh \( CE \cdot CA = CH \cdot CF = CD \cdot CB \)
Áp dụng phương pháp tương tự như trong phần a, ta có thể dùng các tam giác vuông \( AHC \) và \( BHC \) để chứng minh rằng các tỉ lệ này nhau và phù hợp với định lý Pytago.

### c) Đẳng thức tương tự
Chúng ta có thể chỉ ra rằng:
1. \( AE \cdot AB = AH \cdot AD = AF \cdot BC \)
2. \( BD \cdot BC = BH \cdot BE \)
Từ các tỉ lệ trong hai tam giác vuông mà chúng ta đã xét, ta có thể nghĩ đến các đẳng thức tương tự cho các chiều cao khác của tam giác \( ABC \).

### d) Chứng minh **\( \frac{BE}{BC} \cdot \frac{CF}{AB} \cdot \frac{AD}{AC} = \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C \)**
Sử dụng công thức cho chiều cao và độ dài cạnh trong tam giác:
- Cho tam giác \( ABC \):
\[
AD = BC \cdot \sin A
\]
\[
BE = CA \cdot \sin B
\]
\[
CF = AB \cdot \sin C
\]
Suy ra:
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{BC \sin A}{AB}
\]
Thay vào biểu thức ta sẽ chứng minh được:
\[
\frac{BE}{BC} \cdot \frac{CF}{AB} \cdot \frac{AD}{AC} = \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C
\]

### e) Chứng minh \( AE \cdot CD \cdot BF = CE \cdot BD \cdot AF \)
Sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng và độ dài tương ứng của các chiều cao, thay các biểu thức đã chứng minh trước đó vào, ta thấy là có thể xác định mối quan hệ giữa các đoạn trên.

Các chứng minh này đều dựa vào định lý cosin hoặc các quan hệ tương ứng giữa các đoạn trong tam giác, đồng thời áp dụng các tỷ lệ trong các tam giác vuông mà ta đã xây dựng từ điểm cao.

### Kết luận:
Các đẳng thức trên đều đúng dựa trên các định lý cơ bản trong hình học và tính đồng quy của các đường cao trong tam giác nhọn. Chúng ta có thể tiếp tục triển khai các chứng minh hoặc tinh giản bằng cách tổ chức các đoạn mô tả cho từng phần riêng biệt.