Để chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi, ta sẽ chứng minh rằng hai cạnh đối diện AE và DF, AD và EF có độ dài bằng nhau.

1. **Đặt các ký hiệu**:
- Gọi \( AD \) là phân giác của tam giác \( ABC \), tức là \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng**:
- Vì \( DE \parallel AC \) và theo định lý đường cắt trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC}
\]
- Tương tự, vì \( DF \parallel AB \), theo định lý đường cắt trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AD}{BD}
\]

3. **Chứng minh tính chất về chiều dài**:
- Do \( DE \parallel AC \), nên góc \( AED = \angle ACD \).
- Do \( DF \parallel AB \), nên góc \( ADF = \angle ABD \).
- Do đó, \( \angle AED = \angle ADF \) và \( \angle ADE = \angle AFD \).

4. **Áp dụng định nghĩa của hình thoi**:
- Một tứ giác là hình thoi nếu hai cặp cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau.
- Từ các tỉ số trên, ta có:
\[
AE = DF
\]
\[
AD = EF
\]

Vậy tứ giác \( AEDF \) có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau, cùng với 2 cặp góc đối diện bằng nhau (góc giữa 2 cặp cạnh). Do đó, tứ giác \( AEDF \) là hình thoi.

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh.