Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
5x + 3y = 1 \quad (1) \\
2x + y = -1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể bắt đầu bằng cách giải phương trình (2) để tìm giá trị của \( y \):

Từ phương trình (2), ta viết lại:

\[
y = -1 - 2x \quad (3)
\]

Bây giờ, ta sẽ thay giá trị của \( y \) từ phương trình (3) vào phương trình (1):

\[
5x + 3(-1 - 2x) = 1
\]

Giải phương trình trên:

\[
5x - 3 - 6x = 1
\]
\[
-1x - 3 = 1
\]
\[
-1x = 4
\]
\[
x = -4
\]

Bây giờ, ta sẽ thay giá trị của \( x \) vào phương trình (3) để tìm \( y \):

\[
y = -1 - 2(-4)
\]
\[
y = -1 + 8
\]
\[
y = 7
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\boxed{(x, y) = (-4, 7)}
\]