Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm các giá trị của \( a \) để \( A < 0 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a}}{a + \sqrt{a}} \right) \cdot \frac{\sqrt{a - 1}}{a - 1}
\]

**Tính phần trong ngoặc:**

Ta tính phần trong ngoặc trước:

\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a}}{a + \sqrt{a}}
\]

Đặt chung mẫu cho các phân thức:

Mẫu chung là \((\sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a})\).

Tính tử số:

\[
\frac{\sqrt{a}(a + \sqrt{a}) - \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a})}
\]

Tử số trở thành:

\[
\sqrt{a}(a + \sqrt{a}) - \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) = \sqrt{a}a + a - a - \sqrt{a} = \frac{a^2 - a}{(\sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a})}
\]

Do đó, phần trong ngoặc trở thành:

\[
\frac{a^2 - a}{(\sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a})}
\]

**Biểu thức \( A \) trở thành:**

\[
A = \frac{(a^2 - a)\sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a} + 1)(a + \sqrt{a})(a - 1)}
\]

### Bước 2: Tìm giá trị của \( a \) để \( A < 0 \)

Để \( A < 0 \):

- **Tử số:** \( a^2 - a = a(a - 1) < 0 \)
- Điều này xảy ra khi \( 0 < a < 1 \).

- **Mẫu số:**
- \( (\sqrt{a} + 1) > 0 \) với \( a > 0 \).
- \( (a + \sqrt{a}) > 0 \) với \( a > 0 \).
- \( (a - 1) < 0 \) khi \( a < 1 \).

### Kết luận

Do đó, các giá trị của \( a \) để \( A < 0 \) là:

\[
0 < a < 1
\]

Vậy, bài giải đã hoàn thành!