Chúng ta sẽ chứng minh các yếu tố mà bạn yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

1. Trong hình, góc \( A \) và góc \( B \) có số đo lần lượt là \( 110^\circ \).
2. Ta có thể thấy rằng góc \( A \) và góc \( B \) cùng nằm phía ngoài đường thẳng \( a \) và \( b \).
3. Theo định lý về các góc đồng vị, nếu các góc này bằng nhau thì hai đường thẳng \( a \) và \( b \) sẽ song song.
4. Do đó, ta có: \( a \parallel b \).

### b) Chứng minh \( c \perp b \)

1. Ta thấy rằng góc \( B \) là góc vuông (góc bên trong đường thẳng \( b \)).
2. Khi đó, góc \( C \) và góc \( B \) tạo thành một cặp góc bù.
3. Nếu một trong các góc đó là góc vuông thì đường thẳng \( c \) sẽ vuông góc với đường thẳng \( b \).
4. Vậy nên, \( c \perp b \).

### c) Tính số đo các góc \( B_1, C_2, C_3 \)

1. **Góc \( B_1 \)**: Ta có \( B_1 = 110^\circ \).
2. **Góc \( C_2 \)**: Là góc phụ của \( B_1 \), do vậy:
\[
C_2 = 180^\circ - B_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
\]
3. **Góc \( C_3 \)**: Do \( c \perp b \), nên \( C_3 \) là góc vuông, tức là:
\[
C_3 = 90^\circ
\]

Tóm lại:
- \( B_1 = 110^\circ \)
- \( C_2 = 70^\circ \)
- \( C_3 = 90^\circ \)

Hy vọng các bước này sẽ giúp bạn hoàn thành bài tập!