Để chứng minh bài toán đã cho, ta cần thực hiện các bước chứng minh như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BCNM là hình thang:

1. **Xét góc B**: Theo giả thiết, M là giao điểm của tia phân giác của góc B với cạnh AC. Do đó, ta có:
\[
\angle ABM = \angle CBM
\]
(cả hai góc này đều nằm cùng phía).

2. **Xét góc N**: Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với AH và cắt AB tại N, ta có:
\[
\angle AMN = 90^\circ
\]
Và do AH là đường cao của tam giác ABC nên:
\[
\angle AHN = 90^\circ
\]

3. **Kết luận tứ giác BCNM**:
Theo định nghĩa hình thang, nếu một tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song, thì đó là hình thang. Ở đây, chúng ta có:
\[
\angle ABM = \angle CBM \implies BN \parallel CM
\]
Do đó, tứ giác BCNM là hình thang.

### b) Chứng minh BN = MN:

1. **Xét tam giác ABM và ACM**:
Từ nhận xét trên, do M là điểm nằm trên AC (cạnh của tam giác), và MN vuông góc với AH cắt AB tại N, nên chúng ta có:
- Tam giác ABM và tam giác ACM đồng dạng (có chung góc A và cùng góc B).
- Do đó, tỉ số độ dài các cạnh của hai tam giác này là bằng nhau:
\[
\frac{MN}{AB} = \frac{BM}{AC}
\]

2. **Sử dụng tính chất hình thang**:
Trong hình thang BCNM, với BN song song với CM, thì:
\[
MN = BN
\]
Vì vậy, ta có:
\[
BN = MN
\]

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được rằng tứ giác BCNM là hình thang và \( BN = MN \).