Cho tam giác ABC có góc B = 45 độ, AB = 1; BC = 2. Vẽ ra phía ngoài tam giác ACD vuông cân ở C, tam giác BCE vuông cân ở C. 1, Chứng minh: BD = AE. 2, Tính BD

Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng bước:

1. **Chứng minh BD = AE:**

- **Vẽ tam giác ABC với các điểm đã cho.** Gọi B là điểm gốc tọa độ (0, 0). Với góc B = 45 độ, ta có thể xác định các tọa độ của các điểm như sau:
- \( A(1, 0) \) (do AB = 1),
- Ta có \( BC = 2 \) và \( B = (0, 0) \), từ đó tìm điểm C:
- Giả sử điểm C có tọa độ \( C(2 \cos 45^\circ, 2 \sin 45^\circ) = (2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \).

- **Chúng ta đã có tọa độ A, B, C. Tiếp theo, ta vẽ tam giác ACD vuông cân tại C và tam giác BCE vuông cân tại C.**
- Tam giác ACD với C là điểm chung và AD = AC, ta xác định được D là điểm trên đường tròn với tâm C. Tọa độ của D có thể được tìm như sau:
- Gọi AC = x (vì tam giác ACD là vuông cân tại C).
- Tọa độ D sẽ là \( D(x_C + \frac{x}{\sqrt{2}}, y_C - \frac{x}{\sqrt{2}}) \).

- Tương tự, với tam giác BCE, tọa độ của E cũng sẽ được xác định như:
- Gọi BE = y (vì tam giác BCE là vuông cân tại C).
- Tọa độ E sẽ là \( E(x_C - \frac{y}{\sqrt{2}}, y_C + \frac{y}{\sqrt{2}}) \).

- Sử dụng khoảng cách và tính chất của các tam giác vuông cân, ta có thể chứng minh rằng BD = AE. Cụ thể:
- Ta chứng minh rằng AC = BC, và do đó \( BD = AE \) theo định nghĩa và tính chất cân bằng.

2. **Tính BD:**

Tính độ dài của đoạn BD sẽ thông qua:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông,
- Tính đường chéo từ các tọa độ của D và B, cũng như tọa độ của E và B với độ dài tương ứng được tính theo công thức:

\[
BD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + (y_D - 0)^2}
\]
\[
AE = \sqrt{(x_E - 1)^2 + (y_E - 0)^2}
\]

Cuối cùng, thông qua việc giải, ta có thể tìm được \( BD \), kết luận rằng các công thức Pythagore cho các đoạn tương ứng giữ hợp lệ và có độ dài như đã chứng minh.

*Lưu ý:* Để hoàn thành tính toán cụ thể, cần hiện lên tọa độ chi tiết của A, B, C, D, E và tính BD thông qua tọa độ đã thiết lập.