Để chứng tỏ rằng đa thức \( P(x) = x^4 + 4x^2 + 3 \) không có nghiệm thực, chúng ta có thể xem xét tính khả thi của nó bằng cách phân tích nó thành một dạng khác hoặc kiểm tra dấu của đa thức.

Đầu tiên, chuyển đổi đa thức về dạng một biến bằng cách đặt \( y = x^2 \). Khi đó, chúng ta có:

\[
P(x) = y^2 + 4y + 3
\]

Bây giờ, ta có một đa thức bậc hai đối với \( y \):

\[
Q(y) = y^2 + 4y + 3
\]

Để kiểm tra điều kiện có nghiệm, ta tính nghiệm của phương trình bậc hai \( Q(y) \) bằng công thức nghiệm:

\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
\]

Vì \( D > 0 \), phương trình bậc hai này có hai nghiệm thực. Ta tính các nghiệm này theo công thức:

\[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}
\]

Giải ra, ta có hai nghiệm:

\[
y_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3
\]

Vì \( y = x^2 \) không thể âm (x^2 ≥ 0 với mọi số thực x), nên \( y_1 = -1 \) và \( y_2 = -3 \) không có nghiệm thực.

Vì vậy, đa thức \( P(x) = x^4 + 4x^2 + 3 \) không có các giá trị \( y \) thực, và do đó cũng không có nghiệm thực nào cho \( x \).

Chúng ta kết luận rằng đa thức \( P(x) \) không có nghiệm thực.