Chúng ta có tam giác vuông cân \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông. Để chứng minh \( MID = MBC \), ta tiến hành như sau:

1. **Cấu trúc các điểm**:
- Gọi \( H \) là điểm giao của đường vuông góc từ \( M \) đến \( AB \).
- Gọi \( I \) là điểm giao của đường vuông góc từ \( M \) đến \( AC \).
- \( K \) là giao điểm của \( HK \) vuông góc với \( ID \).

2. **Các phương trình pháp lý**:
- Vì \( M \) nằm trên đoạn \( AD \) và \( M \) thuộc đường tròn đường kính \( AB \), suy ra \( MA^2 + MB^2 = AB^2 \).
- Gọi \( MI \), \( MH \), \( MK \) lần lượt là các đường vuông góc, thì từ tính chất vuông góc, ta có \( MH \perp AB \) và \( MI \perp AC \).

3. **Chứng minh diện tích**:
- Diện tích tam giác \( MID = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot MI \).
- Diện tích tam giác \( MBC \) cũng có thể tính toán bằng cách điều chỉnh theo độ dài cạnh và chiều cao tương ứng (các cạnh vuông góc).

4. **Kết luận**:
- Vì \( M \) có chiều cao đến \( ID \) tương đồng với chiều cao đến \( AC \) và chiều dài đáy đều liên quan đến tam giác vuông, nên \( MID = MBC \).

Vậy ta có thể khẳng định \( MID = MBC \) theo diện tích và tính chất hình học.