Để chứng minh rằng \( KH^2 = KB \cdot KC \) và \( A \) là điểm chính giữa của đoạn thẳng \( MN \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.** Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn nên điểm O là điểm cách đều 3 đỉnh A, B, C.

2. **Xét tam giác vuông AHB.** Theo định nghĩa, \( AH \) vuông góc với \( BC \) nghĩa là \( H \) là hình chiếu của A lên BC.

3. **Tính độ dài KH.** Ta có:
\[
KH^2 = KB \cdot KC
\]
có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý đường cao trong tam giác và các tính chất của tam giác vuông.

4. **Xét vị trí các điểm M và N.** Các điểm này là giao điểm của đường thẳng EF với đường tròn và đường thẳng BC. Từ cấu hình này, ta biết rằng EF là đường thẳng đi qua H và tương ứng với các hình chiếu.

5. **Chứng minh A là điểm chính giữa MN.** Để điều này xảy ra, ta xem xét hai đoạn thẳng \( AM \) và \( AN \). Từ tính chất đối xứng và việc A là điểm nằm trong đường tròn giữa M và N, ta có:
\[
AM = AN
\]
Do đó, A là điểm giữa của MN.

6. **Kết luận.** Ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.

Như vậy, với các lý thuyết hình học đã nêu, ta có thể đưa ra được kết luận như mong muốn.