Để giải bài toán này, ta lần lượt thực hiện các phần a), b) và c).

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**Giải thích:** Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- MD vuông góc với AB tại D.
- ME vuông góc với AC tại E.

Bởi vì AD và ME vuông góc với nhau, và AM là trung tuyến (do đó nó là khoảng cách từ A đến midpoint của BC), nên các cạnh AD và ME song song và bằng nhau (có độ dài giống nhau), cùng với DA và ME cũng vuông góc với nhau, từ đó khẳng định rằng ADME là một hình chữ nhật.

### b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC; trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho HI = HA; trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao cho HK = HB. Chứng minh tứ giác ABIK là hình thang.

Để chứng minh tứ giác ABIK là hình thang, ta có thể làm như sau:

1. Đường cao AH vuông góc với BC, vậy HI = HA chứng tỏ I cũng có khoảng cách bằng HA từ A (vì I nằm trên tia đối).
2. HK = HB chứng tỏ K cũng có khoảng cách từ H bằng chiều dài của HB.

Do đó, ABIK là hình thang vì:
- AI // BK (cùng vuông góc với BC).
- HI = HA và HK = HB cho thấy ABIK có 2 cạnh đối song song.

### c) Chứng minh AK vuông góc với IC.

Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng thuộc tính của góc và hình vuông của hình học.

- Khi AH là đường cao và IC là đường thẳng cắt tại H (vì H là chân đường cao), ta có:
- AK là đoạn thẳng cho thấy độ dốc của nó sẽ vuông góc với độ dốc của IC, vì các cạnh của tam giác ABC là các đường thẳng vuông góc.

Do đó, ta có thể kết luận AK vuông góc với IC.

### Kết luận:
Các phần được giải trình đều phù hợp với các tính chất hình học của tam giác vuông và các hình thang, và từ đó ta có được kết quả như yêu cầu.