Trong tam giác ABC, chúng ta có các thông tin sau:

- CD = 6 cm
- BD = 3 cm
- AD là đường cao từ A xuống BC.
- \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Để tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, ta cần tính độ dài cạnh AB và AC.

1. **Tính cạnh BC:**

Ta có:
\[
BC = BD + CD = 3 + 6 = 9 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài cạnh AB (cạnh AC sẽ tính tương tự):**

Trong tam giác ABD, ta có:
\[
AB = \frac{AD}{\sin B}
\]

Để tìm AD, ta áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ADB:
\[
AD^2 + BD^2 = AB^2
\]

3. **Tính AD:**

Ta sử dụng công thức liên quan đến diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD
\]
và
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD
\]

Vì vậy,
\[
\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6
\]

\[
9 \cdot AD = 6 \cdot AB \quad \text{(1)}
\]

4. **Áp dụng vào hàm sin:**

\[
\sin B = \frac{CD}{AB}
\]
Suy ra:
\[
AB = \frac{CD}{\sin B} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

5. **Thay vào phương trình (1):**
\[
9 \cdot AD = 6 \cdot 4\sqrt{3}
\]

Kết quả:
\[
AD = \frac{6 \cdot 4\sqrt{3}}{9} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}
\]

6. **Tính cạnh AC:**

Sử dụng tính chất đối xứng của tam giác:
Cạnh AC cũng có độ dài tương tự, tính y như AB.

Vậy, độ dài các cạnh của tam giác ABC là:
- \( AB = 4\sqrt{3} \) cm
- \( AC = 4\sqrt{3} \) cm
- \( BC = 9 \) cm

Tóm lại:
- **Cạnh AB:** \( 4\sqrt{3} \) cm
- **Cạnh AC:** \( 4\sqrt{3} \) cm
- **Cạnh BC:** \( 9 \) cm