Để giải bài tập này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( BAX = 6 \cdot CAD \).

1. **Đặt góc**:
- Gọi \(\angle C = x\).
- Vậy \(\angle B = 2x\) và từ đó tính được \(\angle A\):
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 2x - x = 180^\circ - 3x.
\]

2. **Xét tam giác ACD**:
- Từ điều kiện trong đề bài, ta có:
\[
\angle CDA = \angle CAD.
\]
- Gọi \(\angle CAD = y\), khi đó \(\angle CDA = y\).

3. **Tính các góc và liên hệ**:
- Từ tam giác ACD, ta có:
\[
\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle CDA = 180^\circ - y - y = 180^\circ - 2y.
\]

4. **Kết hợp với tam giác ABC**:
- Có:
\[
\angle ABC = \angle ACD = 180^\circ - 2y.
\]
- So sánh góc ABC với góc A:
\[
2x = 180^\circ - 2y \implies 2y = 180^\circ - 2x \implies y = 90^\circ - x.
\]

5. **Tính góc BAX**:
- Vì \(AX\) là tia đối của \(AC\), nên:
\[
\angle BAX = \angle CAB + \angle C = y + x = (90^\circ - x) + x = 90^\circ.
\]

6. **Áp dụng định lý tổng góc**:
- Mặt khác, vì \(BAX\) là tia đối, ta có:
\[
\angle BAX = 6 \cdot CAD = 6y.
\]
- Suy ra:
\[
90^\circ = 6y \implies y = 15^\circ.
\]
- Thay vào \(BAX\), ta có:
\[
\angle BAX = 90^\circ = 6 \cdot 15^\circ = 90^\circ.
\]

### b) Cho góc \(A = 30^\circ\). Tính số đo các góc \(B\), \(CAD\).

1. **Từ góc A**:
- Ta đã biết \(\angle A = 30^\circ\), nên từ công thức tính ở trên:
\[
30^\circ = 180^\circ - 3x \implies 3x = 150^\circ \implies x = 50^\circ.
\]

2. **Tính góc B**:
- \(B = 2x = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ\).

3. **Tính góc CAD**:
- Ta đã có \(y = 90^\circ - x\) và \(x = 50^\circ\), do đó:
\[
CAD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ.
\]

### Kết quả:

1. **Góc B**: \(100^\circ\).
2. **Góc CAD**: \(40^\circ\).