Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

\[
A = \sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 2x + 1},
\]

ta có thể đơn giản hóa các căn.

**Bước 1: Rút gọn các biểu thức trong căn.**

1. Đối với biểu thức đầu tiên:
\[
\sqrt{x^2 + 6x + 9} = \sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3|.
\]

2. Đối với biểu thức thứ hai:
\[
\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|.
\]

Vậy, ta có:
\[
A = |x + 3| + |x - 1|.
\]

**Bước 2: Xét các trường hợp của giá trị tuyệt đối.**

Ta sẽ xét các khoảng mà trong đó các biểu thức trong giá trị tuyệt đối thay đổi.

1. \( x < -3 \):
\[
A = -(x + 3) - (x - 1) = -2x - 2.
\]

2. \( -3 \leq x < 1 \):
\[
A = (x + 3) - (x - 1) = 4.
\]

3. \( x \geq 1 \):
\[
A = (x + 3) + (x - 1) = 2x + 2.
\]

**Bước 3: Tính giá trị của A trong các khoảng.**

- **Trong khoảng \([-3, 1)\)**: Giá trị của \(A\) là 4.
- **Khi \(x < -3\)**: \(A = -2x - 2\) sẽ tăng khi \(x\) giảm.
- **Khi \(x \geq 1\)**: \(A = 2x + 2\) sẽ tăng khi \(x\) tăng.

**Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất.**

Từ các xét trên, ta có:
- Khi \(x = -3\), \(A = 4\).
- Khi \(x = 1\), \(A = 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\boxed{4}\).