Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần của nó.

**a) Chứng minh \( CE = CF \) và tính số đo góc \( CEF \)**:

- Bởi vì \( F \) là trung điểm của đoạn \( AC \) và góc \( C = 30^\circ \), nên \( \triangle ACF \) là tam giác vuông tại \( A \) với \( AC \) và \( AF \) tạo thành một góc \( 30^\circ \).

- Lấy hình chiếu \( H \) của \( C \) lên \( BF \) và \( E \) là điểm trên tia đối của \( HB \) sao cho \( HE = HF \).

- Theo định nghĩa, vì \( H \) là hình chiếu, ta có \( CH \perp BF \) và \( CE \) cũng có độ dài bằng \( CF \) do \( HE = HF \).

Vì vậy, ta có:
\[
CE = CF
\]

- Về số đo góc \( CEF \):
Vì \( CF \) là đoạn nối từ \( C \) đến \( F \), \( CE \) là đoạn nối từ \( C \) đến \( E \) và góc \( ECF \) hình thành từ \( H \) là 90 độ. Do đó,
\[
\angle CEF = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
\]

**b) Chứng minh \( FA = FK \)**:

- Tại điểm \( K \) là hình chiếu của \( F \) trên \( BC \), có nghĩa là \( FK \perp BC \).
- Bởi vì \( AC \perp AB \) và góc \( C = 30^\circ \), ta có thể chỉ ra rằng \( FA \) cũng vuông góc với \( AC \), và do đó từ \( E \) đến \( F \) cũng vuông góc với \( AC \).

Do đó, \( FA = FK \).

**c) Chứng minh \( AK \parallel HC \)**:

- Bởi vì \( K \) là hình chiếu của \( F \) lên \( BC \) và \( H \) là hình chiếu của \( C \) trên \( BF \), nên \( AK \) song song với \( HC \) theo định lý song song (cùng góc).

Vì vậy, \( AK \parallel HC \) là đúng.

**d) Chứng minh tam giác \( EBC \) vuông**:

- Ta đã có \( CE \perp BF \) do \( H \) là hình chiếu của \( C \) lên \( BF \).
- Hơn nữa, \( EF \) và \( FC \) đều tạo thành một góc vuông tại \( C \).

Với các lý luận trên, có thể kết luận rằng tam giác \( EBC \) là một tam giác vuông.

Tóm lại, ta chứng minh được rằng:
1. \( CE = CF \)
2. Góc \( CEF = 60^\circ \)
3. \( FA = FK \)
4. \( AK \parallel HC \)
5. Tam giác \( EBC \) vuông.