Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (C khác A và B). Qua C kẻ tiếp tuyến d với đường tròn (O là tiếp điểm), qua A kẻ tia Ax vuông góc với AB, qua B kẻ tia By vuông góc với AB. Đường thẳng d cắt Ax và By lần lượt tại D và E

Bài toán yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn và các đường thẳng kẻ từ các điểm A và B. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần yêu cầu:

### a) Chứng minh \( DA = DC \) và \( EC = EB \).

**Chứng minh:**
- Vì \( d \) là tiếp tuyến tại điểm \( O \), nên \( OC \perp d \). Do đó, tam giác \( OAC \) là tam giác vuông tại \( O \).
- Bằng tính chất của đường tròn, ta có \( OA = OB \).
- Do đó, sử dụng định lý Pythagore, ta có:
\( AC^2 = AO^2 - OC^2 \) và \( BC^2 = BO^2 - OC^2 \).
- Vì vậy, \( DA = DC \) và \( EC = EB \) theo định nghĩa và tính chất đường tròn.

### b) Chứng minh tam giác ODE vuông.

**Chứng minh:**
- Vì \( d \) là tiếp tuyến tại \( O \) nên \( OA \perp d \). Tương tự, \( OB \perp d \) cũng đúng.
- Do đó, tam giác \( ODE \) vuông tại \( O \).

### c) Chứng minh đường thẳng \( DE \) xúc tiếp với đường tròn đường kính \( AB \).

**Chứng minh:**
- Đường thẳng \( DE \) cắt đoạn \( AO \) và \( BO \) tại các điểm \( D \) và \( E \).
- Do \( DA = DC \) và \( EC = EB \), nên \( DE \) là đường thẳng đi qua \( C \) và tiếp xúc với đường tròn tại điểm \( O \).

### d) Tìm vị trí của điểm \( C \) để diện tích tứ giác \( ABED \) có diện tích nhỏ nhất.

**Chứng minh:**
- Diện tích tứ giác \( ABED \) phụ thuộc vào độ dài cạnh \( AB \) và chiều cao từ \( C \) đến \( AB \).
- Để diện tích tứ giác nhỏ nhất, điểm \( C \) cần phải nằm trên đường phân giác của góc \( AOB \) nhằm tối ưu hóa khoảng cách.

### e) Gọi \( H \) là giao điểm của \( AE \) và \( BD \), kẻ \( CH \) cắt \( AB \) tại \( K \). Chứng minh \( CK \) vuông góc với \( AB \) và \( H \) là trung điểm của \( CK \).

**Chứng minh:**
- Do \( AE \perp AB \) tại \( A \) và \( BD \perp AB \) tại \( B \), nên \( H \) tạo thành tam giác vuông.
- Khi kẻ \( CH \), nó sẽ vuông góc với \( AB \) vì \( D \) và \( E \) nằm trên tiếp tuyến \( d \).

Nếu cần thêm hỗ trợ với từng phần cụ thể, hãy cho tôi biết!