Để chứng minh rằng \( H \) thuộc đường tròn tâm \( O \) đường kính \( AB \), ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh rằng \( H \) thuộc đường tròn tâm \( O \) đường kính \( AB \).

1. **Giả thiết**: Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Khi đó, \( OA = OB \) và \( AB \) là đường kính của đường tròn \( (O) \).

2. **Định nghĩa góc**: Theo bài toán, \( A_x \) và \( B_y \) là hai đường thẳng vuông góc với \( AB \), và \( C \) nằm trên tia \( A_x \) trong khi \( D \) nằm trên tia \( B_y \).

3. **Xem xét góc \( COD \)**: Bởi vì \( \angle COD = 90^\circ \), điều này có nghĩa là \( OC \) và \( OD \) tạo thành hai cạnh của một tam giác vuông tại điểm \( O \).

4. **Hình thành điểm \( H \)**: Ta biết rằng \( OH \) vuông góc với \( CD \), do đó \( OH \) là đường cao từ \( O \) xuống "đường thẳng" \( CD \).

5. **Tam giác vuông**: Xét tam giác vuông \( OCH \). Theo định lý Pythagoras:
\[
OC^2 + OH^2 = CH^2
\]
Do đó, \( OH \) là đường cao và tách tam giác thành hai tam giác vuông.

6. **Đường tròn**: Từ \( O \), đường kính \( AB \) tiếp tục là \( R \) (bán kính đường tròn \( (O) \)). Với \( OH\) vuông góc với \( CD\), ta có thể lập luận rằng \( H \) nằm bên trong xung quanh \( CD \).

7. **Từ đó kết luận**: Theo định lý đường tròn, điểm \( H \) thuộc đường tròn, do đó nó nằm trên đường tròn có \( O \) là tâm và \( AB \) là đường kính.

### b) Xác định vị trí tương đối của \( CD \) với đường tròn \( (O) \)

1. **Vị trí của điểm \( C \) và \( D \)**: Vì \( C \) nằm trên tia \( A_x \) và \( D \) nằm trên tia \( B_y \), và \( H \) nằm giữa \( C \) và \( D\).

2. **Xét điều kiện góc**: Bởi vì góc \( COD = 90^\circ \), và đồng thời với \( OH \) vuông góc dốc của \( CD\), nên ta có một mối liên hệ chắc chắn giữa ba điểm \( C, D, H \).

3. **Xác định vị trí**: Nếu \( H \) nằm trong đường tròn hoặc trên đường tròn thì cách riêng của tọa độ của \( C, D, O\) cho thấy rằng đường CD cắt đường tròn (O) sẽ có hai điểm chung.

4. **Kết luận**: Do \( H \) thuộc đường tròn (O), cần kiểm tra xem độ dài đoạn \( CH \) và \( DH \) có đảm bảo chiều dài phù hợp với bán kính của đường tròn.

Tóm lại, \( H \) chắc chắn thuộc đường tròn và \( CD \) có thể cắt đường tròn (O) tại hai điểm - hoặc không cắt nếu nó nằm hoàn toàn ở bên ngoài hoặc bên trong tuỳ thuộc vào vị trí của \( C \) và \( D\) liên quan đến đường kính \( AB \).

### Hình vẽ minh họa
Hình vẽ gồm có:
- Đoạn thẳng \( AB \) với trung điểm \( O \).
- Các tia \( A_x \) và \( B_y \) vuông góc với \( AB \).
- Các điểm \( C, D, H \) nằm theo quy luật đã thuyết minh.

Như vậy, bạn có thể hình dung bằng đồ thị hoặc hình vẽ phù hợp.