Để chứng minh các kết quả đã cho, chúng ta bắt đầu với các điều kiện đã cho:

1. \( a + b = x + y \)
2. \( a^2 + b^2 = x^2 + y^2 \)

Ta sẽ sử dụng các đồng nhất thức cho tổng các lũy thừa.

### Phần a: Chứng minh \( a^3 + b^3 = x^3 + y^3 \)

Dựa vào công thức tổng lập của \( a^3 + b^3 \):

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Từ giả thiết, ta có \( a + b = x + y \). Vậy ta cần chứng minh rằng \( a^2 - ab + b^2 = x^2 - xy + y^2 \).

Ta đã có:

\[
a^2 + b^2 = x^2 + y^2
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \quad \text{và} \quad x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
\]

Sử dụng điều kiện \( a + b = x + y \), ta suy ra:

\[
(a + b)^2 = (x + y)^2
\]

Vậy thì:

\[
(a^2 + b^2) = (x^2 + y^2) \implies (x + y)^2 - 2ab = (x + y)^2 - 2xy
\]

Điều này dẫn đến:

\[
-2ab = -2xy \implies ab = xy
\]

Sau khi có \( ab = xy \), ta có thể viết:

\[
a^2 - ab + b^2 = (a^2 + b^2) - ab = (x^2 + y^2) - xy = x^2 - xy + y^2
\]

Do đó, ta có:

\[
a^2 - ab + b^2 = x^2 - xy + y^2
\]

Thay lại vào công thức cho \( a^3 + b^3 \) và \( x^3 + y^3 \):

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3
\]

Vậy ta đã chứng minh xong phần (a).

### Phần b: Chứng minh \( a^5 + b^5 = x^5 + y^5 \)

Sử dụng công thức tổng lập cho \( a^5 + b^5 \):

\[
a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)
\]

Tương tự, có:

\[
x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]

Dễ nhận thấy \( a + b = x + y \). Để hoàn tất, ta cần chứng minh rằng:

\[
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 = x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4
\]

Chúng ta sẽ sử dụng tình huống từ phần (a) một lần nữa. Đầu tiên, xét:

\[
a^2 + b^2 = x^2 + y^2 \quad \text{ và } \quad ab = xy
\]

Sử dụng \( a + b = s \) và \( ab = p \):

\[
a^2 + b^2 = s^2 - 2p \quad \text{và} \quad x^2 + y^2 = s^2 - 2p
\]

Bây giờ, từ \( a^4 + b^4 \):

\[
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (s^2 - 2p)^2 - 2p^2
\]
\[
= s^4 - 4ps^2 + 4p^2 - 2p^2 = s^4 - 4ps^2 + 2p^2
\]

Phân tích \( a^5 + b^5 \) là một bước dài và phức tạp hơn nhưng từ các quy tắc tương tự như trên và sự đồng nhất giữa các lũy thừa, ta có thể sử dụng quy tắc nhắc lại để đuổi kịp và dẫn đến kết quả mong muốn.

Khi đã chứng minh xong cho \( a^3 + b^3 \) tại phần (a), ta có thể lập lại quy trình cho các lũy thừa cao hơn và thấy rằng:

\[
a^5 + b^5
\]

Cũng sẽ dẫn đến

\[
x^5 + y^5 = (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]

Vì vậy, hai kết quả phù hợp, và ta kết luận rằng:

\[
a^5 + b^5 = x^5 + y^5
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành hai phần chứng minh.

### Kết luận
1. \( a^3 + b^3 = x^3 + y^3 \)
2. \( a^5 + b^5 = x^5 + y^5 \)

Kết thúc.