Để giải bài toán này, trước tiên ta sẽ phân tích các điều kiện đã cho.

Ta có hai phương trình:

\[
a^2 + 4a = 1
\]
\[
b^2 + 4b = 1
\]

Ta sẽ lần lượt giải phương trình \(a^2 + 4a - 1 = 0\) để tìm giá trị của \(a\).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Áp dụng với \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -1\):

\[
a = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2}
\]
\[
= \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}
\]

Vậy \(a\) có 2 giá trị:

\[
a_1 = -2 + \sqrt{5} \quad \text{và} \quad a_2 = -2 - \sqrt{5}
\]

Tương tự, từ phương trình của \(b\), ta có:

\[
b_1 = -2 + \sqrt{5} \quad \text{và} \quad b_2 = -2 - \sqrt{5}
\]

Vì \(a\) và \(b\) là hai số thực phân biệt nên chọn:

- \(a = -2 + \sqrt{5}\)
- \(b = -2 - \sqrt{5}\)

(hoặc ngược lại).

### a) Tính \(A = a + b\)

\[
A = (-2 + \sqrt{5}) + (-2 - \sqrt{5}) = -4
\]

### b) Tính \(B = a^2 + b^2\)

Để tính \(a^2 + b^2\), ta sử dụng công thức:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]

Ta đã có \(a + b = A = -4\), cần tìm \(ab\):

\[
ab = (-2 + \sqrt{5})(-2 - \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1
\]

Giờ ta có:

\[
B = (-4)^2 - 2(-1) = 16 + 2 = 18
\]

### c) Tính \(C = a^4 + b^4\)

Dùng công thức:

\[
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(a^2b^2)
\]

Ta đã có \(a^2 + b^2 = B = 18\). Cần tìm \(ab\):

\[
a^2 b^2 = (ab)^2 = (-1)^2 = 1
\]

Do đó:

\[
C = B^2 - 2(ab)^2 = 18^2 - 2 \times 1 = 324 - 2 = 322
\]

### Kết quả

Vậy các giá trị cần tính là:

a) \(A = -4\)
b) \(B = 18\)
c) \(C = 322\)