Cho 5 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số tự nhiên chia hết cho 4

Ta sẽ chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ, luôn tồn tại ít nhất 2 số chia hết cho 4.

Đầu tiên, hãy chú ý rằng một số tự nhiên có thể có 4 tình huống về tính chia hết cho 4:

1. Số dư 0 khi chia cho 4 (chia hết cho 4).
2. Số dư 1 khi chia cho 4.
3. Số dư 2 khi chia cho 4.
4. Số dư 3 khi chia cho 4.

Theo định lý Dirichlet (hay còn gọi là Nguyên lý Bật đèn), nếu ta có n ngăn và có hơn n đối tượng, thì ít nhất một ngăn phải chứa ít nhất 2 đối tượng.

Trong trường hợp này, chúng ta có 5 số tự nhiên và 4 tình huống chia hết cho 4 (4 ngăn). Chúng ta sẽ phân loại các số này theo 4 tình huống trên.

Khi ta có 5 số, theo nguyên lý Bật đèn, ít nhất một trong 4 tình huống (ngăn) sẽ có ít nhất 2 số.

Do đó, chắc chắn rằng sẽ có ít nhất 2 số trong 5 số tự nhiên đó có cùng một số dư khi chia cho 4.

Nếu cả 2 số này có số dư là 0, thì chúng ta có 2 số chia hết cho 4. Nếu chúng có số dư khác, ví dụ 1, 2, hoặc 3, thì chúng ta sẽ tiếp tục chỉ ra rằng ít nhất tồn tại một cặp trong đó một trong số chúng có thể là chia hết cho 4.

Tóm lại, từ 5 số tự nhiên, ta chắc chắn có ít nhất 2 số chia hết cho 4.

Vậy nên, chúng ta đã chứng minh rằng trong bất kỳ 5 số tự nhiên nào, luôn tồn tại ít nhất 2 số chia hết cho 4.