Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo thứ tự.

### a) Tính giá trị biểu thức \( B \) biết \( x = 3 \)

Biểu thức \( B \) được cho là:

\[
B = \frac{x + 1}{x - 2}
\]

Thay \( x = 3 \) vào biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4
\]

Vậy giá trị biểu thức \( B \) khi \( x = 3 \) là \( 4 \).

### b) Chứng minh:

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
A = \frac{-x}{x - 2}
\]

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{6x - 4}{x^2 - 4}
\]

Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức \( A \).

Nhận thấy \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Do đó:

\[
A = \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{6x - 4}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Ta biến đổi biểu thức đầu tiên để có cùng mẫu:

\[
A = \frac{(x - 2)^2 + (6x - 4)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Tính \((x - 2)^2 + (6x - 4)\):

\[
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \quad \text{và} \quad (6x - 4) \text{ là cho 5} \\
=> x^2 - 4x + 4 + 6x - 4 = x^2 + 2x
\]

Do đó, ta có:

\[
A = \frac{x^2 + 2x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x - 2}
\]

Và kết quả trên chính là hàng số đã cho \( A = \frac{-x}{x - 2} \).

### c) Tìm \( x \) nguyên để biểu thức \( P = A + B \) đạt giá trị nguyên

Từ phần b), ta có:

\[
P = A + B = \frac{-x}{x - 2} + \frac{4}{1} = \frac{-x + 4(x - 2)}{x - 2} = \frac{-x + 4x - 8}{x - 2} = \frac{3x - 8}{x - 2}
\]

Để \( P \) là một số nguyên, mẫu số \( x - 2 \) phải khác 0 và \( x - 2 \) phải chia hết cho \( 3x - 8 \).

Ta cần giải:

\[
3x - 8 = k(x - 2)
\]

với \( k \) là một số nguyên. Giải phương trình này cho các giá trị nguyên, ta có:

\[
3x - 8 = kx - 2k \quad \Rightarrow \quad (3-k)x = -2k + 8 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2k + 8}{3-k}
\]

Ta cần \( 3 - k \neq 0 \) và \( k \) phải sao cho \( x \) nguyên.

### Các giá trị \( x \) nguyên có thể lấy từ phương trình trên, tùy thuộc vào các giá trị cho \( k \).