Chúng ta có hình thang vuông ABCD với các đặc điểm như sau:

- A = D = 90°
- AB = AD = ½CD

Kẻ BH vuông góc với CD. Để chứng minh ABHD là hình vuông, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

1. AB = AD
2. Đường chéo AH = BD
3. Các góc tại các đỉnh H, A, B, D đều bằng 90°.

Cụ thể:

1. **AB = AD**:
- Theo giả thiết, chúng ta đã biết AB = AD.

2. **Chứng minh BH = AB:**
- Do BH vuông góc với CD, tam giác BHD có tính chất là một tam giác vuông với BH đường cao. Để chứng minh BH = AB, chúng ta sẽ xem xét AG.
- Gọi điểm I là trung điểm của CD, do AB = 1/2 CD, ta có BD = 1/2 CD và từ đó, BH cũng bằng với độ dài của AB.

3. **Chứng minh các góc:**
- Ta có góc A và góc D đều bằng 90°, do vậy góc HBA cũng bằng 90° vì BH vuông góc với CD.
- Tương tự, BH vuông góc với AD và CD, dẫn đến góc HDA = 90°.
- Điều này tạo thành tam giác vuông ABD.

4. **Chứng minh AH = AB:**
- Từ điểm H và B có cùng độ cao, điều này sẽ xác định rằng đường chéo AH = AB.

Vì tam giác ABH là tam giác vuông tại A và các cạnh AB, AD, BH và HD đều bằng nhau (được chứng minh ở trên), ta có thể kết luận rằng hình khối ABHD là một hình vuông.

Vậy, ta đã chứng minh rằng hình thang vuông ABCD với góc A=D=90° và AB=AD=½CD, kẻ BH vuông góc CD, thì ABHD là hình vuông.