Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Để chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh rằng nó thỏa mãn các điều kiện của hình chữ nhật, cụ thể là có bốn góc vuông.

Giả sử tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\). Theo giả thiết, chúng ta có:

1. Tia \(Ax\) được kẻ song song với \(BC\).
2. Tia \(Cy\) được kẻ song song với \(AB\).
3. Hai tia này cắt nhau tại điểm \(D\).

Vì \(Ax\) song song với \(BC\) và \(AB\) vuông góc với \(BC\) (do \(ABC\) vuông tại \(B\)), nên theo định lý về các đường thẳng song song, ta có \(Ax\) cũng vuông góc với \(AB\).

Tương tự, tia \(Cy\) song song với \(AB\) và \(AC\) vuông góc với \(AB\), sẽ suy ra rằng \(Cy\) sẽ vuông góc với \(BC\).

Bây giờ ta sẽ xem xét các góc của tứ giác \(ABCD\):

- **Góc \(DAB\)**: Do tia \(Ax\) (hay \(AD\)) song song với \(BC\) và \(AB\) vuông góc với \(BC\), nên góc \(DAB\) sẽ bằng góc vuông, tức là \(90^\circ\).

- **Góc \(ADC\)**: Do tia \(Cy\) (hay \(CD\)) song song với \(AB\) và \(AC\) vuông góc với \(AB\), nên góc \(ADC\) cũng sẽ bằng góc vuông, tức là \(90^\circ\).

- **Góc \(BCD\)**: Do \(AD\) song song với \(BC\) và \(AB\) vuông góc với \(BC\), nên góc \(BCD\) sẽ cũng bằng góc vuông, tức là \(90^\circ\).

- **Góc \(CBA\)**: Tương tự như trên, vì \(CD\) song song với \(AB\) và \(AC\) vuông góc với \(AB\), nên góc \(CBA\) cũng sẽ bằng góc vuông, tức là \(90^\circ\).

Vậy tứ giác \(ABCD\) có bốn góc vuông, tức là \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Kết luận: \(ABCD\) là hình chữ nhật.