Chứng minh G1,G2,B,D đồng phẳng

Để chứng minh các điểm \(G_1\), \(G_2\), \(B\), và \(D\) đồng phẳng trong tứ diện \(ABCD\), ta sẽ thực hiện qua các bước sau:

1. **Xác định tọa độ**:
Giả sử tứ diện \(ABCD\) có các điểm \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\) tương ứng với tọa độ trong không gian ba chiều như sau:
\[
A = (x_A, y_A, z_A), \quad B = (x_B, y_B, z_B), \quad C = (x_C, y_C, z_C), \quad D = (x_D, y_D, z_D)
\]

2. **Tính tọa độ của trọng tâm**:
Trọng tâm \(G_1\) của tam giác \(ABD\) được tính bằng công thức:
\[
G_1 = \left( \frac{x_A + x_B + x_D}{3}, \frac{y_A + y_B + y_D}{3}, \frac{z_A + z_B + z_D}{3} \right)
\]
Tương tự, trọng tâm \(G_2\) của tam giác \(ACD\) là:
\[
G_2 = \left( \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3}, \frac{z_A + z_C + z_D}{3} \right)
\]

3. **Sử dụng định nghĩa đồng phẳng**:
4 điểm \(G_1\), \(G_2\), \(B\), và \(D\) đồng phẳng nếu và chỉ nếu chúng thoả mãn hệ phương trình:
\[
\begin{vmatrix}
x_{G_1} & y_{G_1} & z_{G_1} & 1 \\
x_{G_2} & y_{G_2} & z_{G_2} & 1 \\
x_B & y_B & z_B & 1 \\
x_D & y_D & z_D & 1
\end{vmatrix} = 0
\]

4. **Tính toán định thức**:
Thay tọa độ của các điểm vào định thức trên và tính toán. Nếu kết quả bằng 0, thì 4 điểm này đồng phẳng.

Bằng logic cấu trúc của tứ diện và sự cân bằng của các trọng tâm, ta có thể chứng minh rằng \(G_1\), \(G_2\), \(B\), và \(D\) sẽ luôn đồng phẳng thông qua các tính toán với hệ vectơ và các thuộc tính liên quan đến trọng tâm của tam giác.

Do đó, ta đã chứng minh rằng \(G_1\), \(G_2\), \(B\), và \(D\) là đồng phẳng.