Để chứng minh các phần của bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( AB \parallel HK \)

1. Vì tam giác \( ABC \) vuông tại A, nên \( AC \) vuông góc với \( AB \).
2. Theo giả thiết, \( KH \perp AC \).
3. Do đó, \( KH \) cũng vuông góc với đường thẳng song song với \( AB \) (vì \( AC \) vuông góc với \( AB \)).
4. Vậy có \( AB \parallel HK \).

### b) Chứng minh tam giác \( AKI \) cân

1. Ta có \( HI = HK \) theo giả thiết, và \( HK \) vuông góc với \( AC \).
2. Trong tam giác \( AKI \), ta có cạnh \( AK \) là cạnh chung, đồng thời \( HI = HK \).
3. Ta suy ra rằng hai cạnh \( AK \) và \( AI \) đều bằng nhau, tức là \( AK = AI \).
4. Vậy tam giác \( AKI \) là tam giác cân tại A.

### c) Chứng minh \( \angle BAK = \angle AIK \)

1. Trong tam giác \( AKI \), ta biết rằng \( AK = AI \) nên ta có \( \angle BAK = \angle AIK \) (vì các góc đối diện với các cạnh bằng nhau).
2. Như vậy, có \( \angle BAK = \angle AIK \).

### d) Chứng minh \( \triangle AIC = \triangle AKC \)

1. Từ các kết quả trên, ta có: \( AK = AI \), \( AI = HK \), và \( AC \) là cạnh chung trong hai tam giác.
2. Các góc \( \angle AIK = \angle AKC \) (bởi vì cùng 1 góc vuông).
3. Vậy từ các chứng minh trên, ta có \( \triangle AIC \cong \triangle AKC \) (theo định lý cạnh - góc - cạnh).

### Kết luận

Vậy, ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.