Để tính giá trị của biểu thức \( S = 1 + 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{991} + 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{99} \), chúng ta có thể tách thành hai phần:

1. Phần đầu tiên là:
\[
1 + 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{991}
\]
2. Phần thứ hai là:
\[
9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{99}
\]

### Tính phần đầu tiên

Biểu thức \( 1 + 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{991} \) là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \( a = 1 \)
- Cung tỷ lệ \( r = 9 \)
- Số hạng cuối \( n = 991 \)

Công thức tổng của một cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}
\]

Với \( a = 1, r = 9, n = 991 \), ta có:
\[
S_1 = 1 \frac{9^{992} - 1}{9 - 1} = \frac{9^{992} - 1}{8}
\]

### Tính phần thứ hai

Biểu thức \( 9 + 9^2 + 9^3 + \ldots + 9^{99} \) cũng là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \( a = 9 \)
- Cung tỷ lệ \( r = 9 \)
- Số hạng cuối \( n = 99 \)

Áp dụng công thức tổng, ta có:
\[
S_2 = 9 \frac{9^{99} - 1}{9 - 1} = 9 \frac{9^{99} - 1}{8} = \frac{9^{100} - 9}{8}
\]

### Tính tổng \( S \)

Bây giờ chúng ta sẽ cộng cả hai phần lại với nhau:
\[
S = S_1 + S_2 = \frac{9^{992} - 1}{8} + \frac{9^{100} - 9}{8}
\]

\[
S = \frac{9^{992} - 1 + 9^{100} - 9}{8}
\]

\[
S = \frac{9^{992} + 9^{100} - 10}{8}
\]

Vậy, biểu thức \( S \) có giá trị là:
\[
S = \frac{9^{992} + 9^{100} - 10}{8}
\]