Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( F = (x - 5)^2 + (y + 7)^2 + 2 \), trước tiên chúng ta cần xem xét phần chính của hàm \( (x - 5)^2 + (y + 7)^2 \).

Hàm \( (x - 5)^2 + (y + 7)^2 \) là tổng của hai bình phương, nên nó luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \( x - 5 = 0 \) và \( y + 7 = 0 \). Thay giá trị vào, ta có:

\[
x = 5 \quad \text{và} \quad y = -7
\]

Khi đó:

\[
(x - 5)^2 + (y + 7)^2 = (5 - 5)^2 + (-7 + 7)^2 = 0 + 0 = 0
\]

Vì thế, giá trị nhỏ nhất của \( (x - 5)^2 + (y + 7)^2 \) là 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( F \) sẽ là:

\[
F_{min} = 0 + 2 = 2
\]

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của \( F \) là:

\[
\boxed{2}
\]