Để chứng minh rằng từ tỉ lệ \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) thì dẫn đến tỷ lệ \( \frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d} \), chúng ta sẽ sử dụng các biến đổi đại số.

Bắt đầu với tỉ lệ \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), chúng ta có thể viết:

\[
ad = bc.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ biểu diễn \( \frac{2a + 3b}{2a - 3b} \) và \( \frac{2c + 3d}{2c - 3d} \).

1. **Bước 1:** Tính \( \frac{2a + 3b}{2a - 3b} \)

\[
\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2a + 3b}{2a - 3b}.
\]

2. **Bước 2:** Biểu diễn \( b \) theo \( a \) và \( d \) theo \( c \) từ tỉ lệ \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \):

Từ tỉ lệ, ta có thể viết \( b = \frac{ad}{c} \) (từ \( a = \frac{bc}{d} \), suy ra \( b = \frac{ad}{c} \)).

3. **Bước 3:** Thay \( b \) vào biểu thức \( \frac{2a + 3b}{2a - 3b} \):

\[
\frac{2a + 3(\frac{ad}{c})}{2a - 3(\frac{ad}{c})} = \frac{2a + \frac{3ad}{c}}{2a - \frac{3ad}{c}}.
\]

Khi đưa lên cùng mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \( c \):

\[
= \frac{2ac + 3ad}{2ac - 3ad}.
\]

4. **Bước 4:** Tương tự, ta tính \( \frac{2c + 3d}{2c - 3d} \):

Ta có:

\[
\frac{2c + 3d}{2c - 3d} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}.
\]

5. **Bước 5:** Bây giờ ta sẽ so sánh hai biểu thức trên:

Chúng ta có thể thấy rằng nếu chúng ta sử dụng các thao tác tương tự và thay thế \( a \) với \( b\) và \( c \) với \( d\), chúng ta sẽ có:

\[
= \frac{2ad + 3bc}{2ad - 3bc} = \frac{2ac + 3ad}{2ac - 3ad}.
\]

Như vậy, chúng ta có:

\[
\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}.
\]

Chúng ta đã chứng minh đượcĐề bài yêu cầu.