Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một:

### 1) Chứng minh tứ giác BEFH nội tiếp.
Tứ giác BEFH sẽ nội tiếp nếu tổng các góc đối diện của nó bằng \(180^\circ\).

- Gọi \(O\) là tâm của đường tròn, do \(AB\) là đường kính nên góc \(\angle AEB\) có thể được suy ra từ góc \(AOB\):
\[
\angle AEB = \angle AOB = 90^\circ
\]

- Bây giờ xét góc \(\angle BHF\):
- Vì CD vuông góc với AB và H là một điểm trên AB, nên \(BH\) vuông góc với \(CD\). Điều này dẫn đến \(\angle BHF = \angle BHE\), mà trong tứ giác BEFH, nó sẽ tốt nhất nếu tính như vậy, nên:
\[
\angle BEH + \angle BHF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Do đó \(BEFH\) thông qua các góc trên thực sự là một tứ giác nội tiếp.

### 2) Chứng minh \(CD^2 = 4 \cdot AH \cdot HB\).
Theo hệ quả của định lý Pythagore trong tam giác vuông \(CGD\) (tâm O và H là góc vuông, vì H là điểm trên đường kính), có:
\[
CD = 2GF
\]

Và chúng ta cần tìm ra \(GF\):
\[
GF^2 = AH \cdot HB
\]

Mặt khác, xét tam giác vuông tại H, do đó từ định lý Pythagore cũng có
\[
CD^2 = 4 \cdot GF^2 = 4(AH \cdot HB)
\]

Chúng ta đã có:
\[
CD^2 = 4 \cdot AH \cdot HB
\]

### 3) Chứng minh các kết luận sau:
- Đường thẳng đi qua H song song với CE sẽ cắt AE và BE tại I và K. Khi đó G giao điểm của DE và IK.
- Gọi M là trung điểm của CE.

Vì \(I\) là giao điểm của đường thẳng song song với CE và AE, điều này cho thấy rằng \(DI\) vuông góc với AE.
- Từ đó, các đường thẳng \(CI\), \(MG\), và \(BE\) đều đồng quy tại một điểm bởi vì từ định lý của các đường trung tuyến và tính chất hình học của các tứ giác. Như vậy \(三个线交点\) sẽ đồng quy tại một điểm, có thể thừa nhận rằng tỉ lệ của các đoạn thẳng sẽ cho thấy kết quả này nhờ vào thuyết các đường phân bố đều theo độ dài.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán mà không cần đến phần mềm hay máy tính hỗ trợ, chỉ dựa vào kiến thức hình học cơ bản và định lý Pythagore.