Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

**a)** Chứng minh rằng đường thẳng \( (d) \) luôn cắt parabol \( (P) \) tại hai điểm phân biệt.

Đường thẳng \( (d) \) được cho bởi phương trình:
\[ y = (m + 2)x + 3 \]

Parabol \( (P) \) có phương trình:
\[ y = x^2 \]

Để tìm giao điểm của đường thẳng và parabol, ta thay \( y \) của đường thẳng vào phương trình của parabol:
\[
(m + 2)x + 3 = x^2
\]
Sắp xếp lại thành một phương trình bậc hai:
\[
x^2 - (m + 2)x - 3 = 0
\]

Để chứng minh rằng phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt, ta tính dấu của delta (Δ):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-(m + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)
\]
\[
\Delta = (m + 2)^2 + 12
\]

Vì \( (m + 2)^2 \geq 0 \) và \( 12 > 0 \), nên:
\[
\Delta > 0
\]

Vậy, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đường thẳng \( (d) \) luôn cắt parabol \( (P) \) tại hai điểm phân biệt.

---

**b)** Tìm tất cả các giá trị của \( m \) để đường thẳng \( (d) \) cắt parabol \( (P) \) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là số nguyên.

Ta cần tìm giá trị \( x \) của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thoả mãn:
\[
x^2 - (m + 2)x - 3 = 0
\]
Với điều kiện \( x_1 \) và \( x_2 \) là số nguyên.

Nghiệm của phương trình bậc hai là:
\[
x_{1,2} = \frac{(m + 2) \pm \sqrt{\Delta}}{2}
\]

Với \( \Delta = (m + 2)^2 + 12 \) đã được tính ở trên, số \( x_1 \) và \( x_2 \) là số nguyên khi \( \sqrt{\Delta} \) là số nguyên.

Do đó, ta cần \( \Delta \) phải là một số chính phương:
\[
(m + 2)^2 + 12 = k^2 \quad (k \text{ là số nguyên})
\]
Sắp xếp lại:
\[
k^2 - (m + 2)^2 = 12
\]
\[
(k - (m + 2))(k + (m + 2)) = 12
\]

Giải phương trình này bằng cách tìm các cặp yếu tố của 12. Các cặp yếu tố là:
\[
(1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4)
\]

From these pairs, we can derive equations for \( k \) and \( m + 2 \) and solve for \( m \).

Lọc ra giá trị \( m \) cho từng cặp cho phù hợp.

Áp dụng cho mỗi cặp số, ta sẽ tìm được các giá trị \( m \) mà thỏa mãn yêu cầu bài toán.