Để tìm tọa độ hai điểm \( A \) và \( B \) trên parabol \( P \) : \( y = \frac{1}{4}x^2 \) với hoành độ tương ứng là \( -2 \) và \( 4 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm tọa độ điểm A**:
- Hoành độ \( x_A = -2 \):
\[
y_A = \frac{1}{4}(-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1
\]
- Vậy tọa độ điểm \( A \) là \( A(-2; 1) \).

2. **Tìm tọa độ điểm B**:
- Hoành độ \( x_B = 4 \):
\[
y_B = \frac{1}{4}(4)^2 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4
\]
- Vậy tọa độ điểm \( B \) là \( B(4; 4) \).

3. **Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B**:
- Tọa độ hai điểm đã tìm là \( A(-2; 1) \) và \( B(4; 4) \).
- Tính hệ số góc \( m \) của đường thẳng:
\[
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 1}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]
- Sử dụng phương trình điểm và hệ số góc để viết phương trình đường thẳng:
- Dùng điểm \( A(-2; 1) \):
\[
y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2)
\]
- Rút gọn:
\[
y - 1 = \frac{1}{2}x + 1 \implies y = \frac{1}{2}x + 2
\]

Vậy, tọa độ hai điểm là \( A(-2; 1) \) và \( B(4; 4) \), và phương trình đường thẳng \( d \) đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) là:
\[
y = \frac{1}{2}x + 2
\]