Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2 + c^2 + 4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2 + a^2 + 4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2 + b^2 + 4ab}} \geq \sqrt{\frac{a+b+c}{2}
\]

cho các số thực dương \(a, b, c\), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho 3 biểu thức bên trái, ta có:

\[
\left( \sqrt{\frac{a^3}{b^2 + c^2 + 4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2 + a^2 + 4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2 + b^2 + 4ab}} \right)^2 \leq (1 + 1 + 1) \left( \frac{a^3}{b^2 + c^2 + 4bc} + \frac{b^3}{c^2 + a^2 + 4ca} + \frac{c^3}{a^2 + b^2 + 4ab} \right)
\]

Từ đây, ta có:

\[
3 \left( \sqrt{\frac{a^3}{b^2 + c^2 + 4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2 + a^2 + 4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2 + b^2 + 4ab}} \right)^2 \leq \left( \frac{a^3}{b^2 + c^2 + 4bc} + \frac{b^3}{c^2 + a^2 + 4ca} + \frac{c^3}{a^2 + b^2 + 4ab} \right)
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a^3}{b^2 + c^2 + 4bc} + \frac{b^3}{c^2 + a^2 + 4ca} + \frac{c^3}{a^2 + b^2 + 4ab} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}
\]

Điều này có thể kiểm tra bằng cách áp dụng các bất đẳng thức khác hoặc tính toán cụ thể cho từng trường hợp.

Cuối cùng, từ các bước này, ta sẽ có được bất đẳng thức đã cho.