Để chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC trong tứ giác ABCD có AB = BC và CD = DA, chúng ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Đặt điểm:** Gọi M là điểm giữa của AC. Tức là, M là trung điểm của đoạn thẳng AC.

2. **Định nghĩa đoạn thẳng:** Theo giả thiết, ta có AB = BC (gọi là x), và CD = DA (gọi là y).

3. **Tính độ dài:** Từ tính chất của trung điểm, ta có AM = MC.

4. **Sử dụng tính chất cân của tam giác:** Xét hai tam giác ABD và CBD:
- Tam giác ABD có AB = x, AD = y và BD là cạnh chung.
- Tam giác CBD có BC = x, CD = y và BD cũng là cạnh chung.

5. **Phương trình của tam giác:** Từ giả thiết và các cạnh tương ứng, theo tính chất của thức cân (cạnh, cạnh, cạnh), ta có:
\[
AB^2 + AD^2 - BD^2 = AC^2 \quad (1)
\]
\[
AC^2 = AM^2 + MC^2 = 2AM^2 \quad (2)
\]

6. **Tính chất đường trung trực:** Để BD là đường trung trực của AC, ta cần chứng minh rằng MB = MD. Từ tam giác ABD và tam giác CBD, ta thấy:

- Vì AB = BC và AD = CD, nên cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.
- Suy ra M nằm trên cạnh BD.

7. **Kết luận:** Từ các định nghĩa giống nhau và từ giả thiết ban đầu, ta có thể suy ra rằng chiều dài BM = MD. Do đó, BD vuông góc với AC và M là trung điểm của AC.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC trong tứ giác ABCD với AB = BC và AD = CD.