Để chứng minh rằng \( Q = (2n-1)(2n+3) - (4n-5)(n+1) + 3 \) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \( n \), chúng ta sẽ thực hiện các bước tính toán sau:

1. **Phát triển biểu thức \( Q \)**:

\[
Q = (2n-1)(2n+3) - (4n-5)(n+1) + 3
\]

Tính \( (2n-1)(2n+3) \):

\[
(2n-1)(2n+3) = 4n^2 + 6n - 2n - 3 = 4n^2 + 4n - 3
\]

Tính \( (4n-5)(n+1) \):

\[
(4n-5)(n+1) = 4n^2 + 4n - 5n - 5 = 4n^2 - n - 5
\]

Thay vào biểu thức \( Q \):

\[
Q = (4n^2 + 4n - 3) - (4n^2 - n - 5) + 3
\]

2. **Đơn giản hóa \( Q \)**:

\[
Q = 4n^2 + 4n - 3 - 4n^2 + n + 5 + 3
\]

Tất cả các \( 4n^2 \) sẽ hủy nhau:

\[
Q = 4n + n + 5 - 3 + 3 = 5n + 5 = 5(n + 1)
\]

3. **Kết luận**:

Như vậy, \( Q = 5(n + 1) \) có nghĩa là \( Q \) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \( n \).

### Kết quả:

Chúng ta đã chứng minh rằng \( Q \equiv 0 \mod 5 \) với mọi số nguyên \( n \), nên \( Q \) luôn chia hết cho 5.